БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ, НЕ ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ 5

Через три месяца в точке Su3 величина премии опциона будет

равняться нулю. В точке Su = 45 долл - 44,25 долл., = 0,75 долл.

В точке Sd = 45 долл. - 36,16 долл. = 8,84 долл.

В точке Sd3 = 45 долл. -29,54 долл. = 14,46 долл.

Цена опциона в начале периода Δt3, то есть для точек Su2, S, Sd2

представляет собой дисконтированную стоимость его ожидаемой

цены в конце этого периода и так далее для каждого предыдущего

отрезка времени. Ожидаемое значение случайной величины определяется как ее математическое ожидание. Поэтому цену опциона

в начале периода Δt можно определить по формуле

цена опциона = (Мх) е-rΔT

где Мх — сумма произведения ожидаемых значений цены оп-

циона в конце периода Δt на их вероятность.

Найдем цену опциона в точке Su2. Она равна:

(0,5163 × 0 + 0,4837 × 0,75) е-0,1 ×0,0833 = 0,36 долл.

Для точки S она составит:

(0,5163 × 0,75 + 0,4837 × 8,84) е-0,1 ×0,0833 = 4,62 долл. и т.д.

Цена опциона для каждой точки на дереве распределения представлена второй строкой на рис. 59. В итоге получаем — премия

опциона в начале периода Гравна 5 долл.

Выше мы определили премию для европейского опциона пут.

Рассмотрим теперь случай, когда инвестор покупает аналогичный

по своим условиям американский опцион. Как известно, досрочное .исполнение контракта может явиться оптимальным решением. Поэтому для каждого момента времени (в нашей модели это

конец каждого периода Δt) его цена должна быть не меньше, чем X

- Р. Дерево распределения цены акции и премии американского

опциона приведено на рис. 60. Рассмотрим цену опциона в точке

Su2. Согласно расчету она составляет 0,36 долл. Однако в случае

исполнения опциона в данный момент он будет стоить:

45 долл. — 48,96 долл. = -3,96 долл.

Естественно, что в этот момент времени исполнение опциона

не является оптимальной стратегией и инвестору следует продать

опцион или подождать еще некоторый период времени. Следовательно, его цена в указанной точке равна полученной расчетной

величине, то есть 0,36 долл.